Laurence Carassus, directeur du DVRC et directeur de la recherche pour l’ESILV, est la co-autrice de l’article « No-arbitrage with multiple-priors », publié dans la revue « Stochastic Processes and their Applications ».
Laurence Carassus est enseignant-chercheur à l’Ecole Supérieure d’Ingénieurs Léonard de Vinci (ESILV), professeur des universités à l’université de Reims en mathématiques appliquées et dirige le laboratoire de recherche De Vinci Research Center. Elle a publié avec R. Blanchard dans la revue de mathématiques appliquées, « Stochastic Processes and their Applications » (journal officiel de la Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability) l’article : « No-arbitrage with multiple-priors », avec R. Blanchard, Stochastic Process and Applications Vol 130, Issue 11, pp 6657-6688, 2020.
« No-arbitrage with multiple priors »
Les problématiques de risque sont omniprésentes dans la société actuelle. Une préoccupation commune aux économistes, financiers et mathématiciens est le risque de modèle parfois appelé risque keynésien.
Dans toute modélisation d’un phénomène aléatoire, on se donne un espace des possibles, une tribu sur cet espace et une probabilité. Cette probabilité quantifie les chances d’occurrence du phénomène. À partir de cette base probabiliste, on poursuit le travail de modélisation selon les problèmes à résoudre. Par exemple en finance, on cherche à calculer le prix d’une option ou bien en astrophysique, le temps d’entrée d’une navette dans l’atmosphère.
Tout ce travail est fait en supposant que l’on est sûr de la vraie probabilité prévalant sur l’espace des possibles. Mais est-ce vraiment raisonnable ? Êtes-vous sûr des poids à attribuer aux différents scenarii possibles ?
Ce travail de recherche suppose que la vraie probabilité est inconnue et que nous sommes face à «l’inconnu inconnu» par opposition à la modélisation classique de «l’inconnu connu», où l’on a confiance dans ses propres croyances sur le monde et où l’on ne fait face qu’au hasard sur les résultats d’expériences futures.
Imaginez un jeu de pile ou face où, en plus de l’aléa sur le fait d’obtenir pile ou face, vous ne savez pas si la pièce est équilibrée ou pas. Nous considérons donc, en lieu et place d’une croyance unique, un ensemble de croyances. De plus, nous supposons qu’il n’existe pas de règle définissant de manière univoque les évènements importants pour l’économie.
Le principe du « non-arbitrage quasi-sûr »
Cette situation apparaît naturellement dans les modèles financiers dynamiques où la volatilité (paramètre de l’incertitude) est inconnue. Mathématiquement, ce type de modèle est difficile à traiter et nécessite les outils théoriques puissants de la théorie de la mesure.
« Notre contribution principale est un résultat permettant de mieux comprendre et caractériser la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage dans ce type de modèle appelé non-arbitrage quasi-sûr. »
Dans la modélisation classique, mono-croyance, un arbitrage est un profit sans risque et l’hypothèse de base de la modélisation en finance est que justement, on ne peut pas faire de profit sans risquer de perdre de l’argent dans certains scenarii.
Malheureusement, sous la condition de non-arbitrage quasi-sûr, il peut y avoir des arbitrages sous certaines croyances. Cela signifie qu’un trader peut ne pas être en mesure de couvrir en delta une simple option vanille en utilisant différents niveaux de volatilité et sans générer d’arbitrage.
« Nous montrons que le non-arbitrage quasi-sûr équivaut à l’existence d’une sous-classe de croyances ayant les mêmes ensembles polaires que la classe initiale et telle que le non-arbitrage mono-croyance est vrai pour toutes les croyances de ce sous-ensemble. L’ensemble en question est dense dans l’ensemble initial, ce qui nous permet de prouver des résultats importants en finance mathématique, en particulier l’optimisation des choix dans « l’incertain incertain » », a expliqué Laurence Carassus.